หนังสือเรียนคณิตศาสตร์มัธยมปลาย ชุดการศึกษาพื้นฐาน ปีที่ 1 (ฉบับ A): เริ่มต้นจากวงกลมหน่วย: การนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมใดๆ อย่างเป็นระบบและความสัมพันธ์พื้นฐาน

เริ่มจากฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมแหลมในระดับมัธยมต้น (ด้านตรงข้าม / ด้านตรงข้ามมุมฉาก) เมื่อเราพบกับมุมที่มากกว่า $90^\circ$ หรือมุมลบ สามเหลี่ยมมุมฉากทางเรขาคณิตจะไม่สามารถใช้งานได้อีกต่อไป ในจุดนี้วงกลมหน่วยกลายเป็นเครื่องมือหลักในการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติให้ครอบคลุมมุมทุกประเภท

1. การนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมใดๆ

กำหนดให้ $\alpha$ เป็นมุมใดๆ ซึ่งด้านสุดท้ายตัดกับวงกลมหน่วยที่จุด $P(x, y)$ จะได้ว่า:

ไซน์ (Sine): $\sin \alpha = y$
โคไซน์ (Cosine): $\cos \alpha = x$
แทนเจนต์ (Tangent): $\tan \alpha = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)$

หากจุด $P(x, y)$ อยู่บนวงกลมที่มีรัศมี $r$ จะได้ว่า $\sin \alpha = \frac{y}{r}, \cos \alpha = \frac{x}{r}, \tan \alpha = \frac{y}{x}$

2. ความสัมพันธ์พื้นฐานระหว่างมุมเดียวกัน

นำมาจากสมการของวงกลมหน่วย $x^2 + y^2 = 1$ โดยตรง:

1. ความสัมพันธ์กำลังสอง: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
2. ความสัมพันธ์ผลหาร: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

นอกจากนี้ ในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูง ฟังก์ชันตรีโกณมิติยังสามารถประมาณค่าได้โดยใช้สูตรเทย์เลอร์เพื่อคำนวณค่าประมาณเชิงตัวเลข เช่น: $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$ สิ่งนี้แสดงถึงความสัมพันธ์เชิงลึกระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติและพหุนามทางพีชคณิต

คำถามที่ 1

เขียนเซตของมุมที่มีด้านสุดท้ายเหมือนกับมุม $60^\circ$ และหาค่า $eta$ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข $-360^\circ \le \beta < 360^\circ$

เซต $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$; ค่า $eta = 60^\circ, -300^\circ$

集合 $\{ \beta | \beta = k \cdot 180^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$；元素 $\beta = 60^\circ$

集合 $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$；元素 $\beta = 60^\circ, 420^\circ$

集合 $\{ \beta | \beta = 60^\circ \}$；元素 $\beta = 60^\circ$

คำถามที่ 2

ทราบว่า $\alpha$ เป็นมุมแหลม แล้ว $2\alpha$ คือ ( )

มุมในควอแดรนท์ที่ 1

มุมในควอแดรนท์ที่ 2

มุมบวกที่น้อยกว่า $180^\circ$

มุมในควอแดรนท์ที่ 1 หรือควอแดรนท์ที่ 2

คำถามที่ 3

ทราบว่าด้านสุดท้ายของมุม $\theta$ ผ่านจุด $P(-12, 5)$ จงหาค่า $\sin \theta$

$5/13$

$-12/13$

$-5/12$

$13/5$

คำถามที่ 4

(ตอบด้วยวาจา) กำหนดให้ $\alpha$ เป็นมุมภายในสามเหลี่ยม ใน $\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha$ ค่าใดบ้างที่อาจเป็นลบ?

เฉพาะ $\sin \alpha$ เท่านั้น

$\cos \alpha$ และ $\tan \alpha$

ทั้งสามค่าอาจเป็นลบได้

เฉพาะ $\tan \alpha$ เท่านั้น

คำถามที่ 5

วาดกราฟของ $y = -\sin x$ ในช่วง $[-\pi, \pi]$ โดยใช้วิธี 5 จุด จุดใดต่อไปนี้ไม่ใช่จุดสำคัญ?

$(0, 0)$

(\pi/2, -1)

(\pi/4, -\sqrt{2}/2)

(\pi, 0)

คำถามที่ 6

ฟังก์ชันใดต่อไปนี้ทั้งเป็นฟังก์ชันคี่และมีคาบเท่ากับ $\pi$

$y = \sin 2x$

$y = 1 - \cos x$

$y = \sin x \cos x$

$y = \tan x$

คำถามที่ 7

不通过求值，比较 $\cos \frac{2\pi}{7}$ 与 $\cos(-\frac{3\pi}{5})$ 的大小。

$\cos \frac{2\pi}{7} > \cos(-\frac{3\pi}{5})$

$\cos \frac{2\pi}{7} < \cos(-\frac{3\pi}{5})$

เท่ากัน

เปรียบเทียบไม่ได้

คำถามที่ 8

ทราบว่าฟังก์ชัน $f(x) = \frac{1}{2} \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ มีคาบบวกน้อยที่สุดเป็น ( )

$\pi$

$2\pi$

$\pi/2$

$4\pi$

คำถามที่ 9

หาค่าของ $\sin 15^\circ \cos 15^\circ$

$1/4$

$1/2$

$\sqrt{3}/4$

$1/8$

คำถามที่ 10

已知 $\sin \beta + \cos \beta = 1/5, \beta \in (0, \pi)$，则 $\tan \beta$ 的值为 ( )。

$-4/3$

$3/4$

$-3/4$

$4/3$

挑战：摩天轮的三角建模

การวิเคราะห์ปรากฏการณ์เป็นคาบจริง

มีรถเข็นหมุนหนึ่งคัน จุดสูงสุดสูงจากระดับพื้น 120 เมตร จุดต่ำสุดสูงจากระดับพื้น 10 เมตร ใช้เวลาหมุนรอบครบ 1 รอบ 30 นาที สมมุติว่ารถเข็นหมุนคงที่ ผู้โดยสารเริ่มต้นนับเวลาเมื่อเข้าสู่รถที่จุดต่ำสุด

คำถามที่ 1

จงหาสูตรฟังก์ชันที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างความสูงจากระดับพื้น $h$ (เมตร) กับเวลา $t$ (นาที)

详细解析：
1. แอมพลิจูด $A$: รัศมีคือ $(120 - 10) / 2 = 55$ เมตร
2. การเลื่อนแนวตั้ง $k$: ความสูงศูนย์กลางคือ $(120 + 10) / 2 = 65$ เมตร
3. ความเร็วเชิงมุม $\omega$: คาบ $T=30$ ดังนั้น $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$
4. เฟส $\phi$: เมื่อ $t=0$ อยู่ที่จุดต่ำสุด $h=10$ กำหนด $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$ เมื่อ $t=0$ จะได้ $55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$
สูตรฟังก์ชัน: $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ หรือ $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$

คำถามที่ 2

หลังจากผู้โดยสารเริ่มหมุนไปแล้ว 5 นาที ความสูงจากระดับพื้นคือเท่าไร?

详细解析：
แทน $t=5$ ลงในสูตร:
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$ เมตร
สรุป: ความสูงคือ 37.5 เมตร

คำถามที่ 3

หากห้องโดยสารหมุนด้วยความเร็วคงที่ หลังจากผ่านครึ่งคาบ ตำแหน่งการเปลี่ยนแปลงของห้องโดยสารจะสะท้อนออกมาอย่างไรในภาพฉายบนวงกลมหน่วย?

详细解析：
หลังจากผ่านครึ่งคาบ (15 นาที) มุมเพิ่มขึ้น $\pi$ เรเดียน ในวงกลมหน่วย หมายความว่าจุด $P(x, y)$ หมุนไปยังจุดสมมาตรกับจุดกำเนิดที่ $P'(-x, -y)$ ในฟังก์ชันตรีโกณมิติแสดงออกเป็นสูตรการเปลี่ยนรูป: $\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$ ดังนั้น หากอยู่ที่จุดต่ำสุดเดิม หลังครึ่งคาบจะต้องอยู่ที่จุดสูงสุด

✨ ประเด็นหลัก

บนวงกลมหน่วยดูพิกัด $y$ คือไซน์ $x$ คือโคไซน์ ผลบวกกำลังสองเท่ากับหนึ่งเสมอ อัตราส่วนแทนเจนต์คงอยู่ตลอดกาล!

💡 坐标即函数值

จำไว้ว่า 'วงกลมหน่วย' เป็นหัวใจสำคัญ ค่าพิกัดแนวนอน $x$ ของจุดตัดระหว่างด้านสุดท้ายกับวงกลมหน่วยคือ $\cos \alpha$ ค่าพิกัดแนวตั้ง $y$ คือ $\sin \alpha$

💡 กฎเครื่องหมายของควอแดรนท์

“หนึ่งทั้งหมดเป็นบวก สองไซน์ สามแทนเจนต์ สี่โคไซน์” กฎนี้กำหนดว่าคุณควรเลือกเครื่องหมายบวกหรือลบเมื่อทำการหาค่าราก

💡 โดเมนของแทนเจนต์

เนื่องจาก $\tan \alpha = y/x$ เมื่อด้านสุดท้ายอยู่บนแกน $y$ (คือ $\alpha = k\pi + \pi/2$) จะได้ $x=0$ ซึ่งในกรณีนี้แทนเจนต์ไม่มีค่า

💡 คำเตือนเกี่ยวกับหน่วยเรเดียน

在应用泰勒公式或物理周期模型（$T=2\pi/\omega$）时，角度必须使用弧度制。

💡 วิธีวาดกราฟ 5 จุด

เมื่อวาดกราฟไซน์และโคไซน์ ให้ระบุจุดศูนย์ 3 จุด และจุดสูงสุดต่ำสุด 2 จุด แล้วเชื่อมด้วยเส้นโค้งเรียบลื่นแบบคลื่น